陈省身：如何做好的数学

        真正的大师，不仅要有博大精深的学术修养和卓有建树的理论创新，更要有普世价值的人文关怀和献身真理的人格精神。

　　2003年初春的一天，我们到南开大学宁园访问了陈省身先生。陈老虽已年过九旬，但除了需要坐轮椅外，他依然精神矍铄，思维敏捷。

　　陈先生从小就喜欢看书，什么书都拿来读，从《古文观止》到桐城派的文章，从唐诗到宋词。他特别喜欢《资治通鉴》，看过许多遍。

　　“当然没有毛主席读得多。”陈老风趣地说。

　　在我们海阔天空地聊了一阵之后，他认为还需要做一些补充：“其实我是一个生性淡泊的人。我年轻时就想隐居，不愿与人有过多的往来，主要的心愿是留学，当时就知道了重要的发展在国外。留学以后看出数学是条路子，自己可以走，就在这方面发展了。我尽量不干涉别人的事，自己努力。”

　　“有一年我跟内人去参观罗汉塔，我就感慨地跟她说：‘无论数学做得怎么好，顶多是做个罗汉。菩萨或许大家都知道他的名字，罗汉谁也不知哪个是哪个人。所以不要把名看得太重。’”可见，陈老对名利之淡泊，为人处世之通达，不完全来自天性，也来自对世界、人生的哲理性思考。

　　陈老很健谈，但他最爱谈的仍然是数学。他总是谆谆嘱咐后学者要做“好的数学”。什么是“好的数学”？可以从不好的数学谈起。陈先生在一次讲演中举过一个“幻方”的例子：将1至9排成三行三列的一个方阵，使每行每列以及两对角线上的数字相加均为15。我们可以做到这一点，例如：
　　4 3 8
　　9 5 1
　　2 7 6

　　可惜幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地，另外一个奇迹，所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数，数学上称之为圆周率，记作。这个结果可重要了，因为这个数渗透了整个数学！譬如，可以出现在下面的公式中：
　　π/4=1-1/3+1/5-1/7+……

　　这个公式美极了！人们怎么也想不到由单数1，3，5……的组合可以产生圆周率。对于一个数学家来说，这个公式正如一幅美丽的图画或风景。

　　对的研究，引发了数学各个方面深刻的结果，是好的数学。幻方只是一个偶然现象，虽很巧妙，但不属于好的数学。与此相关，陈省身在一次报告中提及中学生数学奥林匹克竞赛的问题。他说，他是支持数学竞赛的，对数学竞赛的获奖者也一再给以鼓励，希望他们成功。但是数学竞赛的题目都不是好的题目，因为在两三个钟头里，青少年学生能做出来的技巧性题目，不可能有很深的含义。这样说，并不是说奥林匹克竞赛题目都出得不好，他认为，数学奥林匹克竞赛的奖只是一个能力的表现，离研究一个好的数学问题还差得很远，更不可以把奥林匹克数学竞赛获奖者等同于数学家。

　　陈省身引用了法国大数学家拉格朗日(1736-1813)的标准，认为好的数学问题应当满足两个条件：一是易懂，走在马路上向任何人都能讲清楚；二是难攻，这种数学问题必须相当困难，但又不是无法攻克的。一个数学问题易懂，往往说明这个问题直观，很基本，具有普遍性，不需附加很强的外在条件。难攻应当指问题比较深入，非一眼可以看穿。从这样的角度再来审视陈省身的数学成果，也许我们更容易理解其中的价值和意义了。

　　陈先生自己最得意的工作是高斯-博内公式的内蕴证明。高斯-博内公式可以看作平面上三角形的内角之和等于180°或者(弧度制)在高维曲面上的推广。高斯-博内公式告诉我们，曲面三角形的点曲率、线曲率及面曲率之和，即全曲率等于一个与有关的几何不变量。从定理的叙述中可以看出，这是曲面几何的多么基本、美丽的定理。

　　陈省身将高斯-博内公式推广到曲面，建立了曲面上各点的单位切矢量形成的空间的结构，称为“圆丛”。

　　讲到这里，陈先生很兴奋地说，“这个定理证明的原始想法在西南联大时就有。有了原始想法，再加上非常复杂的微分几何的计算，这需要用到当时看来比较高深的数学，像分析、代数几何、李群、拓扑等。对拓扑学的一些工具当时还没有完全搞清，为了证明这个定理，抓起来就用……”

　　高斯-博内公式的证明推动了大范围微分几何学的发展，而大范围微分几何学中的许多概念、理论又深刻影响了近代数学其他分支。“其影响遍及整个数学”，陈省身获沃尔夫奖的证书上如是说。

　　更令人惊奇的是，科学家们事后发现，微分几何中的这些新观念竟然与物理学中的“场论”惊人地相一致。著名物理学家杨振宁和米尔斯在1954年发表了《杨-米尔斯规范场论》，将物理中的引力、电磁力、弱力和强力，这四种基本力的能都归结为规范场。但直到20年后，科学家们才发现二者之间的紧密联系：原来纤维丛和联络可以作为规范场论的数学基础。

　　陈省身先生自豪地对我们说：“起码我们数学没有落后，数学为物理学提供了基础和工具。”

　　就在1975年弄清规范场和纤维丛的关系后，杨振宁驱车前往陈省身在伯克利的家中，向他报告这一消息。杨振宁说：“物理学的规范场正好是纤维丛上的联络，而后者是在不涉及物理世界的情况下发展出来的，这实在令我惊讶。”他又加了一句，“这即使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家能凭空想象出这些概念。”陈省身马上提出异议，“不，不。这些概念不是想象出来的。它们是自然的，也是实在的。”

　　陈先生以自己的学术活动实践着做“好的数学”的理想。他指出了数学的抽象性特点以及中国传统数学在这方面的不足。

　　陈先生指出：“我觉得中国古代数学都偏于应用，讲得过分一点，甚至可以说中国古代数学没有纯粹数学，都是应用数学，这是中国古代科学的一个缺点，这个缺点到现在还存在。应用当然很重要，但是许多科学领域的基本发现都在于基础科学。”

　　同样，陈老也恳切地指出我国在培养人才机制方面的某些缺陷。他对我们说，“中国培养人才方面最大的问题是近亲繁殖。”其实，40年前他就指出过这一点：“1930年以后，国内数学界有长足的进步……尤其浙大在陈(建功)、苏(步青)二先生主持下，学生甚多，工作极勤。可惜他们采取的态度，可名之为‘学徒制’，学生继续做先生的问题，少有青出于蓝的机会。要使科学发展，必须要给工作者以自由，这是值得深思的。”70年后的今天，学徒制的影子不是仍然随处可见吗？可见克服体制的和社会的习惯势力有多么的不易！今天，我们有许多人在做科学工作，更有一些人在做“科学管理”的工作，但是，如果我们不明白科学的本质是什么，如果我们不明白科学发展的原动力在哪里，我们就无法理解陈老所说的“要使科学发展，必须要给工作者以自由。”
（摘自《大学者》，黄且圆著，科学出版社出版）

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